トポロジカルな弦理論、２題

パサデナからです。昨日と今日と、IPMUでトポロジカルな弦理論の数学に関するセミナーがあったので、ビデオ会議で参加しました。今回はセミナー室のハイデフィニション・カメラを使ったので、私のPCからでも黒板がしっかり読めて、質問もできたので助かりました。

九州大学の入谷寛さんの話は、トポロジカルな弦理論の摂動の高次の計算を、ホッジ構造の変形空間の量子化によって理解しようというものでした。この考え方は、そもそもBCOV方程式を幾何学的に理解するためにエドワード・ウィッテンさんが提唱したものです。サーシャ・ギベンタルさんが数学的に定式化したとは聞いていましたが、その内容は私には分かりづらいものでした。入谷さんの話では、波動函数の解析的性質なども解明されているそうで、論文が出るのが楽しみです。

サンクト・ペテルブルグのステクロフ数学研究所のピーター・ゾグラフさんは、リーマン面のモジュライ空間の体積を高い種数の場合に計算する漸化式の話をされました。モジュライ空間の体積は、トポロジカルな不変量に書き換えられるので、トポロジカルな弦理論の話になります。モジュライ空間のこの種の不変量については、ウィッテンさんが予想して、マキシム・コンセビッチさんが証明したビラソロ恒等式がありますが、ゾグラフさんの見つけた漸化式はこれよりも効率的なのだそうです。

トポロジカルな弦理論にはいろいろな形の漸化式が現れて、様々な役割を果たしているのがおもしろいです。物理専攻では学部の物理数学で、特殊函数が微分方程式を満たすということと、積分表示を持つということは密接に関連する事実であるということを学びますが、トポロジカルな弦理論ではこれがもっと大掛かりに行われているような気がします。