アスペン、その７： ザギエさんの２つの問題

アスペンで私が主催していたワークショップは先週で終了したので、今週は、論文の推敲をしたり、大学院生が解いてくれたアインシュタイン方程式の解を検算したり、他の分野の人と話をしたり、のんびりと研究しました。

先週末には、プッチーニの１幕もの３部作のうち、『修道女アンジェリカ』と『ジャンニ・スキッキ』を観ました。

『アンジェリカ』（上の写真）は、暗い話で周りのご婦人方には不評でしたが、曲は美しいと思いました。『ジャンニ・スキッキ』（下の写真）はこれと対照的に、大笑いしながら観ました。

マイケル・グリーンさんと話をしていたら、数学者のドン・ザギエさんの話題になりました。

右下の写真は、昨年の夏にドイツで開かれた弦理論と数学の国際会議String-Math 2012での、ザギエさんの講演の様子です。

ザギエさんは、ドイツのマックス・プランク数学研究所の所長で、パリのコレージュ・ド・フランスの教授でもありますが、今年はグリーンさんのいらっしゃるケンブリッジ大学に滞在されているそうです。

グリーンさんは、ザギエさんから瞬発力を見る問題を出されたといって、私にも、次の２つの問題の各々に「聞いて１０秒」で答えなさいと出題されました。

ザギエさんの問題その１：
素数の逆数の和は無限大です。では、人類がこれまでに発見した素数の逆数の和はいくつぐらいしょうか。

ザギエさんの問題その２：
スイカの重さの９９％が水分だったとします。１日置いてはかったら、水分が蒸発して、９８％が水分になっていました。スイカの全体の重さはどれだけ減ったでしょうか。

何とか２問とも、各々１０秒以内に答えることができて、合格だといわれました。

以下に答えを書きますが、読む前に考えてみてください。

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問題その１の解答：

素数の逆数の和というのは、1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/23 + 1/29 + ... とたしていくということで、これが無限大になることはオイラーによって証明されています。

ガウスが１５歳のときに予想して、その１００年後に証明された素数定理によると、自然数Nのあたりには、およそ log N に１つの割で素数があります（ここで log と書いているのは自然対数）。

そうすると、N以下の素数の逆数の和は、およそ

Σ_{n < N} (n log n)^{-1}

で、これはおよそ log ( log (N) ) になります。

対数が２回かかっているのがミソで、Nが大きくなっても、あまり増えません。

たとえば、log ( log (100) ) は約1.5ですが、log ( log (10^10) ) でも約3.1にしかなりません。log ( log (10^10^10) )でも約24です。

log ( log (N) )は、Nが大きくなってもあまり増えないので、「人類がこれまでに発見した素数」がどれだけあるかを正確に知らなくても答えられるというわけです。

たとえば、現在知られている最大の素数というのは、およそ１千万桁なので、10^10^7。そうすると、log ( log (10^10^7 ) ) で約17。しかし、これはメルセンヌ数という特別に見つけやすい素数なので、それまでの素数が全部わかっているわけではありません。

そこで、「たぶん５から１０ぐらいじゃないですか」と答えたら合格でした。

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問題その２の解答：

私はこの手の問題が苦手なので、「えーと、えーと、水以外の部分が１パーセントから２パーセントと倍になったので、全体の重さは半分になったのではないですか」と答えたら正解でした。

たとえば、最初にスイカが１キログラムあったとしたら、水分は９９０グラム。残りの部分は１０グラム。全体が半分になると、５００グラムで、水以外は１０グラムのままなので、水分は４９０グラム。これは５００グラムの９８パーセントというわけです。

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このような口頭試問を受けることになった理由については、後日ブログ記事に書きます。