大栗博司のブログ

Unity of String theory

今週から、私が企画したUnity of String Theoryのワークショップが始まりました。MITのホン・リュウさんとカナダのマクギル大学のアレックス・マロニィさんにも組織委員になってもらいました。アスペンでは、毎年超弦理論のワークショップが開かれてきましたが、ここ数年は「超弦理論と宇宙論」とか「超弦理論と現象論」というように、他分野との交流を促進することを主眼とした会が開かれてきました。そこでもう一度、超弦理論のいろいろな側面を研究している人たちを集めて、これまでの発展を総合し、新しい方向性を探ろうと言う趣旨でUnityというタイトルにしました。

週のうち火曜日と木曜日の午前中だけが全体のミーティングで、そのほかの時間は各自の研究や議論に充てるというリラックスしたスケジュールです。今日は、最初のミーティングでした。来週からの講演者はまだ決めていないので、出席者のリストと紙をまわして、講演して欲しい人の名前を募ることにしました。

天気がよかったので、屋外のセミナー会場を使いました。ミュージックテントからのリハーサルの音も聞こえてきます。

最初の講演者は、以前Caltechでポスドクで、現在はイスラエルのテクニオンにいるオレン・バーグマンさんです。M理論のメンブレーン上のチャーン・サイモンズ型理論についての最近の発展のまとめをしていただきました。この方面はこの2年間の間に膨大な論文が出版されましたが、それをうまくまとめた講演だったと思います。私がよくわかっていなかったこともきちんと説明してくれて、勉強になりました。

2人目は、現在Caltechのポスドクをしている、サクラ・シェファー＝ナメキさんでした。F-理論を使った素粒子模型の構成についてで、前半は素粒子模型のもととなる複素4次元のカラビ・ヤウ多様体の局所的な構造について、後半はそれをコンパクトなカラビ・ヤウ多様体にどのように組み込むことができるかという話でした。現象論の人も出席していて、激しい突っ込みもありました。

午後は、研究に必要な論文を読んだり、電話会議に出たりしました。夕方からは毎週恒例のピクニックです。日本でピクニックと言うと、食べ物を持って遠足に行くというイメージがあるので、私も20年前に始めてアスペンに来た時にはわからなかったのですが、単に食べ物を持ち寄ってバーベキューなどをしながら親睦を深める会のことです。午後遅くに強い雨が降って、途中であられに変わったのでどうなることかと思いましたが、ピクニックの間は気持ちよく晴れてくれたのでよかったです。アスペンは高山にあるので、天気が急に変わります。

ピクニックのときに教えていただいた論文を読んでみたら、勉強になりました。ありがとうございます。

ラフマニノフと分数量子ホール効果

アスペンの音楽祭では、気軽に音楽を聴きに行く機会が多いこともうれしいです。日曜日の朝には、同じ日の夕方に開かれるコンサートのゲネプロに行きました。こちらでは、ドレスリハーサルと言っています。曲目は、気鋭のピアニストのジョイス・ヤンさんによるラフマニノフのピアノ協奏曲第１番と、チャイコフスキーの交響曲第６番『悲壮』でした。ラフマニノフの第１番を生演奏で聴いたのははじめてでした。

アスペン・フェスティバル・オーケストラは、音楽祭と同時に開催されているアスペン音楽学校の先生と生徒で構成されているようです。一緒に行った人が、毎年来る生徒が変わるので質を保つのは難儀だろうなと言っていましたが、私も教師として同感です。

聴衆には、分数量子ホール効果を発見されたダニエル・ツイさんもいらっしゃいました。共同発見者のホルスト・シュテルマーさんのコロキウムで、分数量子ホール効果を発見されたときの話をお聞きしたことがあります。GaAs/AlGaAsのサンプルを絶対温度１度近くにまで冷やしてホール抵抗を測定しているときに、磁場をあげていくと整数量子ホール効果で期待されるよりはるかに大きな抵抗が観測されたそうです。これをグラフに描いたところ、ツイさんが２本指で抵抗の大きさを比較して、「１，２，３ … クォークだ！」とおっしゃったそうです。冗談でおっしゃったのだと思いますが、すばらしい知的瞬発力です。

アスペン自転車

アスペンは小さい町で自転車での移動が便利なので、物理学センターで自転車を借りることができるようになっています。今回は、新品の自転車を借りることができて快適です。

今日はローリング・フォーク川に沿った自転車専用道でサイクリングをしました。重力に逆らって大陸分水嶺まで自転車で行く豪傑もいますが、私は１２キロほど川を下ったウッディクリークまで行ってきました。滝の横を通ったり、ワイルド・セージの草原を横切ったり、短いながら変化に富んでいて楽しい道です。

ウッディクリークには、物理学センターの創設者の１人のジョージ・ストラナハンさんが創められた、ウッディクリーク・タバーンがあります。タバーンというのは、ギリシア語のタベルナから来ているのでしょうが、居酒屋と言うような意味だと思います。ここは開拓時代の西部の雰囲気があるので、アスペンに来るたびに１度は行っています。昔は、物理学センターの理事会もここで開かれていたそうです。

以前は、キャッスルクリーク・ロードを２０キロぐらい登って、アシュクロフトのゴーストタウンを越えたところにあるパインクリーク・クックハウスにもよく行ったのですが、数年前に改装されて往時の趣がなくなってしまったので、最近は行っていません。

フォン・ノイマンとショパン

アスペンのストリング理論のワークショップは来週からなので、今週はたまっている原稿を書いたり、読む暇のなかった論文を読んで勉強をしています。アスペンにはかれこれ１５回以上来ているので、様子もよくわかっていて、着いた日から普通に研究ができます。

物理学センターは、９０年代後半に改装工事をしてすばらしい施設になりました。それ以前には、創立者の１人の名前を取ったストラナハン・ホールのほかに、ベーテ・ホールとプレハブのヒルベルト・ホールがありましたが、新たに最新鋭の設備を持つスマート・ホールが建ったので、ヒルベルト・ホールを壊して、その跡地を芝生と白樺の植わった広場にしました。ここは、ヒルベルト空間と呼ばれています。ヒルベルト空間は、ガーデンチェアーや机がそこかしこにあって置いてあって、外で議論をしたり、また他の人から離れて落ち着いて研究をするのにも最適な環境です。

今日は、UCLAのチャクラバーティさんによる量子臨界現象についてのコロキウムがありました。外場の入ったイジング模型を例にとって、フォン・ノイマンのエントロピーが量子臨界点の性質を調べるのに便利な量であることを説明していました。私のCaltechの同僚のジル・レファエルさんがこの方面でいろいろ仕事をしているようなので、詳しく議論がしたいです。フォン・ノイマンのエントロピーについては、IPMUの高柳さんも、物性理論の笠さんとAdS/CFTの見地から論文を書かれています。レビューもありますね。

コロキウムの後には、ワインとチーズのレセプションがあって、物性理論の人たちとも親しく話をしました。

アスペンの楽しみの１つは、物理学センターの隣で開かれている音楽祭です。午前中にセミナーを聞いているときにも、ミュージック・テントからリハーサルをしている音が聞こえてきます。今日は、バン・クライバーン国際ピアノコンクールで優勝なさった辻井伸行さんのリサイタルがありました。物理センターの裏手から、ワイルド・セージの群生をぬけた所がミュージック・テントです。写真ではよく見えませんが、木立の間から白く見えるのがテントです。今日は、前半がショパンのエチュード全曲、後半はベートーベンの『ハンマークラビア』でした。すばらしい演奏だったと思います。

そういえば、Caltechの同僚のアントン・カプスチンさんのお父さんが作曲をしたエチュードを、辻井さんが弾いていらっしゃるところをYoutubeで聴くことができます。⇒http://www.youtube.com

壁越報告

５月にIPMUで開催されたフォーカス・ウィーク「新しい不変量と壁越え」の会議報告を、IPMUの季刊誌に書きました。これが掲載されている２００９年６月号が出版されました。フォーカス・ウィークの報告はこちらのリンクから読むことができます。⇒http://www.ipmu.jp

６月号の裏表紙は、ニュートリノの小さい質量を説明するシーソー機構について。発見者の柳田さんによる手書きのイラストがついています。また、小宮山東京大学前総長と村山IPMU機構長の対談も掲載されています。

On the road again

今日は、午前中にスクリップス・カレッジでのリサイタルを鑑賞してから、昼過ぎの飛行機に乗ってコロラド州のアスペンに着きました。私は、来週からここの物理学センターで始まるUnity of String Theoryのプログラムのオーガナイザーになっていますが、ここの委員会の仕事などもあるので、１週間早くに来ています。現在開催されているBeyond the Standard Modelのプログラムも覗いてみるつもりです。

バークレィにいた頃は、アスペンまで自動車で２、３日かけて来ましたが、最近は飛行機を使っています。ロサンゼルス空港からアスペンまで小型ジェット機の直行便があるので、１時間４０分ぐらいで行けるのが便利です。

飛行機では、４次元のポアンカレ予想を解決してフィールズ賞を取られたマイケル・フリードマンさんと一緒になりました。フリードマンさんは、トポロジカルな量子計算の専門家になられて、サンタバーバラにあるマイクロソフト社のステーションQという量子コンピュータの研究所にいらっしゃいます。KITPのAdS/臨界現象のワークショップでもお見かけしました。今回は、物理学センターで並行して開催されている超伝導・超流動のプログラムに参加されるようです。２年前にアスペンに来た時には、フリードマンさんと同じオフィスになって、数学や物理学の様々な話題について議論していただいて楽しかったです。

明日から、いろいろな人と議論できることが楽しみです。

クレアモント大学群

米国にはハーバード大学のような大規模研究大学のほかに、学部教育に特化したsmall liberal arts collegeと呼ばれる大学がいくつもあります。小規模教養大学とでも訳すのでしょうか。私は、UCバークレィで大学院入試委員になったときに、このような大学からも優秀な学生が応募してくることを知りました。小規模大学でしっかり教養をつけてから大学院の専門教育を受けることを選ぶ学生もいるので、入試委員はこのような大学の名前と特徴を知っている必要があります。たとえば、アマースト、ウィリアムズ、スワツモア、ハバフォードなどの名前をよく聞きます。女子大学では、バーナード、ブリン・マー、ウエスリー、スミスなどの東部７大学がセブン・シスターズとして知られています。

パサデナから車で東に３０分ぐらい行ったところに、クレアモント大学群があります。これは、５つの学部大学（カレッジ）と２つの大学院から構成されているコンソーシアムで、全米でも指折りの難関校だと聞いています。今日は、その中のスクリップス・カレッジで開かれたバイオリン・リサイタルに行ってきました。サンディエゴの近郊ラホヤにあるスクリップス研究所など、南カリフォルニアの様々な研究・教育施設に貢献されたエレン・スクリップスさんが設立された大学です。スクリップス・カレッジの隣にあるハーベィ・マッド・カレッジは、理科系の有名大学で、CaltechやUCバークレィにも優秀な卒業生を送ってきています。キャンパスの中は、東部の大学のような落ち着いた雰囲気で、しっかり勉強が出来そうなところでした。

庭に来る動物

庭のブドウの実が大きくなってきたと思ったら、山鳩やアオカケスがつまんでいくようになりました。食べてみるとまだすっぱいですが、熟すのを待っていると鳥に全部食べられてしまいそうです。そこで、紙に包んで守ってみることにしました。鳥が紙を取ってしまうかもしれませんが、少しこのまま観察してみます。アオカケスはこちらではブルー・ジェイと呼びます。トロントの野球チームの名前でもありますね。カリフォルニアに来たばかりの頃は、庭に青い鳥が来るというので感激しました。

庭にはハチドリや孔雀も来ます。ハチドリを始めて見たときには、なんてエネルギー消費量の多い鳥なんだろうと思いました。実際、ハチドリの心拍数は一分間に１０００以上だそうです。孔雀は、隣町のアルケディア市にある植物園で放し飼いにされているものが時々飛んできます。

バークレィの丘の上に住んでいたときに、鹿が来て庭を荒らすのに閉口したことを思い出しました。鹿はバラの花のつぼみが好物のようで、庭の周りに柵をめぐらせても、軽々と飛び越えて食事に来ていました。一度は、柵を飛び越えた子供の鹿が帰れなくなって、庭から連れ出してやるのに苦労したことがあります。

アライグマが来ることもあります。ある夜、音がすると思って庭を見てみたら、１０匹ぐらいが月明かりの芝生の上で宴会をしていたことがあります。もう少し山のほうに行くと、コヨーテや山猫が出没するそうです。

話は変わりますが、今日届いた「数学セミナー」の８月号を読んでみたら、神田神保町の書泉グランデの５月１６日から６月１５日までの売り上げデータで、「この定理が美しい」が数学書の第５位になっていました。 書評欄には紹介文も掲載されていました。

ユニタリー性

昨日、Caltechの副学長とお昼ご飯を食べていたときに、大学の建物の話になって、何気なく、「最近、エレベータの調子が悪いんです。」と言いました。そうしたら今朝、大学に来て見ると、修理工事が始まっていました。

先月出版された『この定理が美しい』で、「くりこみ可能性の判定条件」について解説しました。この解説記事について、ユニタリー性について触れるべきであったとのご指摘を受けました。場の量子論でユニタリー性というときには、物理的状態のヒルベルト空間が正定値であること、つまり物理的状態の確率が正の値を持つことを意味します。ユニタリー性を持たない模型では、負の確率を持つ状態が現れ、量子力学のコペンハーゲン解釈が成り立たなくなるので、ユニタリー性は大切な性質です。

この解説記事は、数学専攻の大学生レベルの読者を想定して書きました。そこで、物理学の知識がなくても読めるように、ユニタリー性を満たしているスカラー場の理論についてくりこみ可能性を定義し、この場合に限って「くりこみ可能性の判定条件」を数学の定理として解説しました。このように制限した形で定式化した定理は、それ自身では正しいものだと思います。

一方、一般の場の量子論では、ユニタリー性を要請しないと、くりこみ可能性の条件がゆるくなります。紫外発散を、負の確率を持つ粒子の効果で相殺することとができるからです。ご指摘のように、この点について注意をしておいたほうがよかったかもしれません。

ところで、今回の解説記事では経路積分を使いましたが、物理学の学生向けに場の量子論の講義をするときには、私は正準量子化からはじめます。経路積分は計算には便利ですが、無限次元の積分を操作するので、気をつけないと怪我をします。困ったときには、正準量子化に戻って考えると安全です。たとえば、量子異常項（アノマリー）を議論するときに大切な経路積分の測度の選び方は、正準量子化をつかうとはっきりします。

相対論的不変性も重要ですね。ペトロ・ホジャバさんは、最近、４＋１次元の非可換ゲージ理論でも、相対論的不変性を要請しなければ、くりこみ可能で漸近的自由性を持つものがあると主張しています。(私は証明をチェックしていませんが。） ⇒ http://arxiv.org/

ご指摘をありがとうございました。

三宅一生さん

がニューヨークタイムズ紙に、ご自身の広島での被爆体験についてお書きになっています。⇒http://www.nytimes.com